חישוב רדיוס מעגל חוסם
במשולש: a = 8, A = 30°. מהו R?
- a / sin A = 2R
- 8 / sin 30° = 2R
- 8 / 0.5 = 16 = 2R
- R = 8
משפט הסינוס המורחב
a / sin A = 2R
R – רדיוס המעגל החוסם, a – הצלע מול זווית A
הגדרה
משולש חסום במעגל הוא משולש שכל שלושת הקודקודים שלו נמצאים על היקף המעגל. המעגל נקרא המעגל החוסם של המשולש, ומרכזו הוא הנקודה ששלושת אנכי האמצע של הצלעות נחתכים בה.
בכל משולש יש מעגל חוסם יחיד.
משפט 1: זווית היקפית
זווית של המשולש (היקפית במעגל) שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת – שוות זו לזו.
משפט 2: סינוסים מורחב
בכל משולש חסום במעגל ברדיוס R:
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
זוהי הרחבה של משפט הסינוסים – החלק עם ה-2R מאפשר לקשר ישירות בין כל צלע, הזווית שמולה, ורדיוס המעגל החוסם.
משפט 3: תאלס (משולש ישר-זווית)
אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר שלו הוא קוטר המעגל. כלומר:
R = היתר / 2
וההפך גם נכון – משפט הפוך לתאלס: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90°).
דוגמאות פתורות
משולש ישר-זווית
משולש ישר-זווית עם ניצבים 6 ו-8. מהו רדיוס המעגל החוסם?
- היתר = √(6² + 8²) = 10
- R = היתר / 2
- R = 5
נוסחת השטח דרך R
למשולש עם צלעות a, b, c החסום במעגל ברדיוס R:
S = (a · b · c) / (4R)
שימושי כאשר נתונות שלוש הצלעות והרדיוס.
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין מעגל חוסם למעגל חסום?
מעגל חוסם – מקיף את המשולש; כל הקודקודים עליו. מעגל חסום – נמצא בתוך המשולש; משיק לשלוש הצלעות. אלה שני מעגלים שונים עם רדיוסים שונים (R ו-r בהתאמה).
איפה נמצא מרכז המעגל החוסם?
בנקודת המפגש של שלושת אנכי האמצע של צלעות המשולש. במשולש חד-זוויות הוא בתוך המשולש, במשולש ישר-זווית הוא על היתר (באמצעו), ובמשולש קהה-זווית הוא מחוץ למשולש.
איך מוצאים R אם נתונות 3 צלעות?
משתמשים בנוסחה R = abc / (4S), כאשר S = שטח המשולש (אפשר לחשב לפי נוסחת הירון).
צריכים עזרה במעגלים ומשולשים?
מורים פרטיים יסבירו את כל הקשרים בין משולשים, מעגלים, זוויות ורדיוסים.
מצאו מורה פרטי