זווית בין משיק למיתר – המשפט וההסבר

ניסוח המשפט

נתון מעגל, A היא נקודה על המעגל, t משיק למעגל ב-A, ו-AB מיתר. אז הזווית בין המשיק t לבין המיתר AB שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר AB מהצד השני שלו (כלומר זווית מהקשת הרחוקה).

אם הקשת AB (מהצד של המשיק) שווה ל-α°, אז:

הזווית בין המשיק למיתר = α / 2

הוכחה (קצרה)

נסמן O את מרכז המעגל ונעביר רדיוס OA. נדע ש-OA ⊥ t (המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה). נסמן את הזווית בין המשיק למיתר ב-β. אז זווית OAB = 90° − β. במשולש שווה-שוקיים OAB (OA = OB רדיוסים), זווית OBA = 90° − β גם כן. לכן הזווית המרכזית AOB = 180° − 2(90° − β) = 2β. הזווית ההיקפית על אותה קשת היא חצי המרכזית = β. ∎

דוגמה פתורה

שימוש בהוכחות

המשפט שימושי במיוחד להוכחת:

• שוויון זוויות בין משולשים שונים שבמעגל.
• דמיון משולשים – כי הוא נותן זוויות שוות בקלות.
• זהות זווית בין מיתרים, משיקים והיקפיות.