מציאת אורך
במשולש ABC: BC = 14 ס"מ. M ו-N אמצעי AB ו-AC. מהו MN?
- MN = ½ · BC
- MN = ½ · 14 = 7 ס"מ
משפט קטע האמצעים
MN ∥ BC , MN = ½ · BC
M אמצע AB, N אמצע AC
הגדרה
קטע אמצעים במשולש הוא הקטע המחבר בין אמצעי שתי צלעות. בכל משולש יש שלושה קטעי אמצעים – אחד לכל זוג צלעות.
המשפט (הישר)
אם MN הוא קטע אמצעים במשולש ABC, כאשר M אמצע AB ו-N אמצע AC, אז:
- MN מקביל ל-BC
- MN = ½ · BC
המשפט ההפוך
אם נתון ישר העובר דרך אמצע צלע אחת ומקביל לצלע אחרת, אז הוא חוצה גם את הצלע השלישית. כלומר, הקטע שנוצר הוא קטע אמצעים. שימושי מאוד בהוכחות!
שלושת קטעי האמצעים יוצרים משולש
שלושת קטעי האמצעים יוצרים משולש דומה למשולש המקורי, ביחס דמיון 1:2. השטח של המשולש הקטן הוא רבע מהשטח של המקורי, וההיקף שלו הוא חצי.
דוגמאות פתורות
היקף המשולש הפנימי
במשולש ABC: AB=6, BC=8, AC=10. מה היקף המשולש שיוצרים שלושת קטעי האמצעים?
- היקף ABC = 6 + 8 + 10 = 24
- היקף הפנימי = ½ · 24 = 12 ס"מ
שאלות נפוצות
איך מוכיחים את המשפט?
שיטה נפוצה: דמיון משולשים – במשולש ABC ובמשולש AMN שתי צלעות פרופורציוניות (½) וזווית משותפת (זווית A), אז המשולשים דומים ביחס 1:2. מהדמיון נובע שהצלעות השלישיות פרופורציוניות (MN/BC = 1/2) ושהזוויות שוות (אז MN ∥ BC).
מה הקשר לטרפז?
קטע האמצעים בטרפז מוגדר באופן דומה (מחבר אמצעי השוקיים) ומקביל לבסיסים, אבל אורכו שווה לממוצע הבסיסים: (a+b)/2. ראו קטע אמצעים בטרפז.
מתי כדאי להשתמש במשפט בהוכחה?
כאשר רואים אמצעי צלעות, נקודות אמצע, או יחס של 1:2. גם כשצריך להוכיח שקטע מקביל לאחר – ושיש לכם נקודות אמצע, זה רמז חזק להשתמש במשפט.
נתקעתם בהוכחות גיאומטריות?
מורים פרטיים יסבירו את כל המשפטים – קטעי אמצעים, דמיון, חפיפה – עם הרבה תרגול.
מצאו מורה פרטי