דמיון משולשים – משפטי הדמיון ויחס הדמיון

מה זה דמיון משולשים?

שני משולשים נקראים דומים כאשר הם בעלי אותה צורה אך לא בהכרח אותו גודל. כלומר אפשר לקבל את האחד מהשני על ידי הגדלה או הקטנה (וסיבוב/שיקוף). שני תנאים מתקיימים יחד:

• הזוויות שוות בהתאמה: $\angle A=\angle D,\angle B=\angle E,\angle C=\angle F$
• הצלעות פרופורציוניות: היחס בין כל זוג צלעות מתאימות זהה וקבוע.

סימון הדמיון הוא ~. כותבים $△ABC\sim △DEF$ תוך שמירה על סדר הקודקודים: A מתאים ל-D, ‏B מתאים ל-E, ‏C מתאים ל-F. הסדר חשוב – הוא קובע אילו צלעות וזוויות מתאימות זו לזו.

שלושת משפטי הדמיון

כדי להוכיח שמשולשים דומים אין צורך לבדוק את כל הזוויות והצלעות – מספיק אחד משלושת המשפטים:

1. משפט ז.ז (זווית–זווית)

אם שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של המשולש השני (בהתאמה) – המשולשים דומים.

$$\angle A=\angle D,\angle B=\angle E\Rightarrow △ABC\sim △DEF$$

זהו המשפט הנפוץ ביותר בבגרות, כי אם שתי זוויות שוות – גם השלישית שווה (סכום הזוויות במשולש הוא 180°).

2. משפט צ.ז.צ (צלע–זווית–צלע)

אם שתי צלעות פרופורציוניות והזווית שביניהן שווה – המשולשים דומים.

$$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF},\angle A=\angle D\Rightarrow △ABC\sim △DEF$$

3. משפט צ.צ.צ (צלע–צלע–צלע)

אם שלוש הצלעות פרופורציוניות – המשולשים דומים.

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\Rightarrow △ABC\sim △DEF$$

יחס הדמיון ויחס השטחים

במשולשים דומים, היחס הקבוע בין הצלעות המתאימות נקרא יחס הדמיון ומסומן ב-$k$. כל הקטעים המתאימים – צלעות, גבהים, תיכונים, חוצי זווית והיקפים – נמצאים באותו יחס $k$:

$$\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=k$$

לעומת זאת, יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=k^2$$

זו נקודה שמטעה תלמידים רבים: אם הצלעות גדולות פי 3, השטח גדול פי 9 ולא פי 3.

הוכחה: למה ז.ז מספיק?

אם $\angle A=\angle D$ ו-$\angle B=\angle E$, אז מסכום הזוויות במשולש נובע גם $\angle C=\angle F$. הזוויות שוות בהתאמה, ומכאן (לפי ההגדרה ומשפט תאלס) הצלעות מול הזוויות השוות נמצאות באותו יחס, כלומר $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$. לכן המשולשים דומים. ∎

דוגמאות פתורות